Il calcolo crittato
Il calcolo crittato consiste di uno o più calcoli ove le cifre sono state sostituite con simboli o lettere. Il solutore deve ricostruire l'unica, esatta associazione simboli-cifre tenendo presente che ad ogni simbolo corrisponde sempre la medesima cifra.
La risoluzione del gioco necessita di una certa dimestichezza coi numeri e la conoscenza di alcune proprietà dell'Algebra elementare.
Nel seguito, solo per nostra comodità, adotteremo come simboli le lettere maiuscole dell'alfabeto. Vediamo alcune situazioni (si tenga conto che le lettere maiuscole sostituiscono altrettante cifre e che il carattere # significa "qualsiasi simbolo, anche assente", non rilevante cioè ai fini delle considerazioni effettuate):
1) L'equazione
permette di dedurre che B=0; infatti la cifra meno significativa del risultato di una sottrazione fra due numeri aventi uguali le cifre meno significative non può che essere lo zero.
2) L'equazione
permette di dedurre che C=1; infatti la somma di due singole cifre non può mai essere maggiore di 18 e quindi, se il risultato prevede due cifre, la più significativa non può che essere l'uno.
3) L'equazione
permette di dedurre che A=0 oppure A=1 oppure A=5 oppure A=6; infatti queste sono le sole cifre che, se poste come cifre meno significative di due numeri, una volta moltiplicate fra loro, forniscono un risultato la cui cifra meno significativa è uguale alle cifre meno significative dei due fattori.
4) L'equazione
permette di dedurre che B>E (esattamente: B=E+1);
5) L'equazione
permette di dedurre che A=0; infatti lo zero è l'unica cifra che, sommata a se stessa, dà ancora la medesima cifra.
6)L'equazione
permette di dedurre che B è pari; infatti qualsiasi cifra, sommata a se stessa, dà per risultato un numero la cui cifra meno significativa è pari.
7) L'equazione
permette di dedurre che C>A (esattamente: C=A+1); infatti se la cifra più significativa è cambiata, tale cambiamento è stato causato da un riporto dalle due cifre meno significative, sommate fra loro. Dal momento che due cifre sommate possono, al massimo, produrre un riporto pari a uno, si ha quanto detto. Questa osservazione può essere generalizzata a più cifre e a più posizioni intermedie delle cifre coinvolte cioè possiamo affermare, con osservazioni simili a quella appena fatta, che:
8) l'equazione
permette di dedurre che B>A (esattamente: B=A+1); inoltre:
9) l'equazione
permette di dedurre che C>A (esattamente: C=A+1), che B=9 e che D=0.
Analizziamo adesso l'esempio visto a inizio pagina. Cambiando i simboli, con altrettante lettere maiuscole, esso diventa:
| | A | B | × | C | B | = | C | D | E | F |
| | | + | | | + | | | | | - |
| A | A | F | : | | E | = | | C | G | E |
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Osserviamo che la terza colonna (la sottrazione CDEF - CGE = FHG) ci dà subito C=1 e F=9; infatti sottraendo da un numero a quattro cifre un numero a tre cifre si ottiene ancora un numero a quattro cifre a meno che il minuendo non sia minore di 1999. In tal caso, si può ottenere una differenza a tre cifre se il sottraendo è a tre cifre ma abbastanza grande, fermo restando che il minuendo ha come cifra più significativa un uno.
Il diagramma diventa così:
| | A | B | × | 1 | B | = | 1 | D | E | 9 |
| | | + | | | + | | | | | - |
| A | A | 9 | : | | E | = | | 1 | G | E |
| ______________________________ |
Dalla seconda colonna risulta evidente che G=2; infatti un numero a due cifre con la cifra più significativa pari a uno sommato ad una singola cifra dà un numero con cifra più significativa ancora l'uno oppure due.
Il diagramma diventa così:
| | A | B | × | 1 | B | = | 1 | D | E | 9 |
| | | + | | | + | | | | | - |
| A | A | 9 | : | | E | = | | 1 | 2 | E |
| ______________________________ |
Ancora dalla terza colonna deduciamo che E=7; inoltre, dalla prima riga, sappiamo che B può essere uguale o a 3 oppure a 7 (uniche cifre che, moltiplicate fra loro, producono un risultato con 9 come cifra meno significativa) ma dato che questo ultimo valore è associato ad altro simbolo (appena scoperto), se ne deduce che B=3.
Il diagramma diventa così:
| | A | 3 | × | 1 | 3 | = | 1 | D | 7 | 9 |
| | | + | | | + | | | | | - |
| A | A | 9 | : | | 7 | = | | 1 | 2 | 7 |
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Dalla seconda colonna deduciamo facilmente che D=0; dalla seconda riga (che può essere anche considerata come il prodotto 127 x 7 = AA9) si ottiene A=8.
Il diagramma diventa così:
| | 8 | 3 | × | 1 | 3 | = | 1 | 0 | 7 | 9 |
| | | + | | | + | | | | | - |
| 8 | 8 | 9 | : | | 7 | = | | 1 | 2 | 7 |
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Infine, dalla terza riga (o dalla terza colonna) otteniamo H=5 e quindi il gioco è risolto:
| | 8 | 3 | × | 1 | 3 | = | 1 | 0 | 7 | 9 |
| | | + | | | + | | | | | - |
| 8 | 8 | 9 | : | | 7 | = | | 1 | 2 | 7 |
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Al termine del gioco si consiglia di controllare che i conti quadrino davvero.
